Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach rzędu wyższego niż dwa
Definicja 1:
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) o stałych współczynikach nazywamy równanie postaci
gdzie \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots ,a_n\hskip 0.3pc \) są stałymi i \( \hskip 0.3pc a_n\neq 0\hskip 0.3pc \).
Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania ( 1 ). Tak jak w przypadku dla \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc \) szukamy rozwiązania równania ( 1 ) w postaci funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \).
Równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu ( 1 ) ma postać
Przpadek I. Jeżeli \( \hskip 0.3pc \lambda_1, \ldots ,\lambda_k\hskip 0.3pc \) są rzeczywistymi jednokrotnymi pierwiastki równania ( 2 ) wtedy z przykładu 7 z modułu "Liniowa zależność i niezależność funkcji" wynika, że funkcje
Przpadek II. Jeżeli \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) wtedy funkcje
Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej \( \hskip 0.3pc i,\hskip 0.3pc 1\le i\le k-1\hskip 0.3pc \) prawdziwa jest następująca zależność:
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) więc
Zatem funkcja \( \hskip 0.3pc y_{i+1}(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ).
Liniowa niezależność rozwiązań \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc\ldots ,y_k(t)\hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) wynika z wniosku 2.
Przpadek III. Niech \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc \) będzie jednokrotnym zespolonym pierwiastkiem równania ( 2 ). Wtedy liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) też jest pierwiatkiem jednokrotnym równania ( 2 ) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste.
Analogicznie jak dla równań rzędu drugiego pokazuje się, że pierwiastkom tym odpowiadają następujące linowo niezależne rozwiązania równania ( 1 ):
Przpadek IV.Niech \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc \) będzie pierwiastkiem zespolonym równania ( 2 ) o krotności \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) Wtedy liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) też jest pierwiatkiem równania ( 2 ) o krotności \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste.
Analogicznie jak w "Przypadku II" dowodzi się, że następujące funkcje
Postępując tak samo jak dla równań rzędu drugiego można wykazać, że rozwiązaniom
będące rozwiązaniami równania ( 1 ). Na podstawie wniosku 3 wynika, że powyższe rozwiązania równania ( 1 ) są liniowo niezależne.
Przykład 1:
Przykład 2:
Znaleźć rozwiązanie problemu początkowego
Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu ma postać
więc równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste: \( \hskip 0.3pc \lambda_1=-1\hskip 0.3pc \) (pierwiastek jednokrotny) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=3\hskip 0.3pc \) (pierwiastek dwukrotny). Zatem następujące funkcje
są rozwiązaniami rozpatrywanego równania różniczkowego.
Pokażemy, że stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.
Musimy zatem wykazać, że wyżej wymienione funkcje są liniowo niezależne. Wystarczy sprawdzić czy ich wrońskian jest różny od zera
Zatem rozwiązanie ogólne ma postać
Ponieważ
więc z pierwszego warunku początkowego dostajemy
zaś z drugiego warunku początkowego mamy
Z trzeciego warunku początkowego otrzymujemy
Wówczas rozwiązaniem układu równań
jest \( \hskip 0.3pc c_1=1,\hskip 0.3pc c_2=2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_3=-1.\hskip 0.3pc \)
Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja
Przykład 3:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania
Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące
Pierwiastkami dwukrotnymi tego równania charakterystycznego są
Pierwiastkom tym odpowiadają następujące funkcje
które są rozwiązaniami rozpatrywanego równania.
Z przykładu 6 wynika, że są liniowo niezależne i tym samym stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.
Zatem rozwiązanie ogólne równania jest postaci
gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2, \hskip 0.3pc c_3,\hskip 0.3pc c_4\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe.